MODELING OF UNSTEADY AERODYNAMIC FORCES ON STREAMLINED BRIDGE DECK

 

 

 

MODELING OF UNSTEADY AERODYNAMIC FORCES ON STREAMLINED BRIDGE DECK

[unsteady aerodynamic assignment]

 

Hadyan Hafizh

Aeronautic and Astronautic

Institut Teknologi Bandung

h_pizzz@yahoo.com

Lecture : I Wayan Tjatra, PhD.

 

1.   Introduction

Pada standar desain jembatan bentang panjang, flutter analisis dilakukan berdasarkan flutter derivatives. Flutter derivatives ini memberikan informasi untuk mengevaluasi kondisi ketidakstabilan dari jembatan dan perilaku aeroelastik dari dek jembatan tersebut. Flutter analisis dari struktur elastik yang linear dianggap sebagai masalah stabilitas berdasarkan Simiu and Scanlan[1]. Anggapan ini berdasarkan bahwa pertama, struktur yang ditinjau diperlakukan sebagai struktur yang elastik dan linear. Kedua, Osilasi awal dari struktur dianggap terjadi pada amplitude yang kecil sehingga rezim stabil dan tak stabil dapat dipisahkan, gerak dari jembatan adalah gerak sinusoidal dengan amplitude yang konstan, dimana batas kestabilannya diatur oleh dek jembatan itu sendiri.

Properti dari bentuk penampang dek jembatan akan mempengaruhi kestabilan terhadap flutter. Beberapa bentuk penampang dek jembatan telah diinvestigasi untuk melihat interkasi antara angin dengan dek jembatan tersebut oleh para peneliti sebelumnya. Salah satu peneliti yang telah melakukan investigasi teoritikal mengenai aerodynamic derivatives dari thin airfoil yang berosilasi sinusoidal adalah Theodore Theodorsen[2]. Oleh karena kesamaan didalam perilaku dinamik dari dek jembatan yang streamlined dengan airfoil, maka evaluasi teoritikal dari Theodorsen dapat digunakan didalam menganalisis aerodynamic derivatives atau flutter derivatives dari dek jembatan tersebut. Beberapa studi mengatakan bahwa evaluasi teoritikal dari Theodorsen tidak dapat lagi digunakan untuk menganalisis kestabilan dari bentuk penampang yang tidak streamlined. Berikut merupakan salah satu contoh bentuk penampang dek jembatan yang streamlined

 

Gambar 1.1 :     Cross section of thin plate (top), Cross section of typical streamlined bridge deck (down)

 

Pada paper ini akan diambil hanya dua derajat kebebasan dari dek jembatan yang ditinjau. Yaitu gerak vertikal and torsional. Pada analisis kestabilan, dek jembatan tersebut dikenai gaya aerodynamic yaitu self – excited aerodynamic lift L_h dan self – excited aerodynamic moment Mα.

Angin hanya bekerja pada dek jembatan pada satu arah saja, tetapi akibat ketidakpastian pengukuran di dalam terowongan angin, aliran angin dapat dimodelkan tiga dimensi sebagai berikut U+u(x),+u(y),+u(z), yang mana model ini mengikutkan gangguan acak yang terjadi pada aliran. Bagaimanapun, pada paper ini aliran diasumsikan laminar, sehingga komponen gangguan u(x),u(y),u(z) yang menyebabkan terjadinya turbulensi diabaikan.  

 

2.   Forces on Streamlined Bridge Section

Untuk sistem dengan dua derajat kebebasan, seperti yang terlihat pada gambar 2.1, persamaan gerak dari sistem tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

 

 

Gambar 2.1 : Two Dimensional Aeroelastic System

 

Persamaan 2.1 dapat ditulis ulang dengan memasukkan frekwensi dan damping parameter kedalam sistem dua derajat kebebasan sebagai berikut: 

Persamaan ini valid jika dek jembatan yang ditinjau berbentuk simetri; yang mana bentuk ini adalah umum bagi kebanyakan dek jembatan. Dengan kata lain, elastic center dari dek jembatan terletak berimpit dengan lokasi pusat massa.                         

Untuk memodelkan gaya aerodinamika self – excited yang berada disisi kanan persamaan 2.2 pada thin plate sections, Theodorsen[2] mengembangkan formulasi teoritikal yang prinsip dasarnya berdasarkan teori aliran potensial. Gaya-gaya aerodinamika ini didefinisikan dalam bentuk displacement, velocity, dan acceleration dari osilasi, density dari fluida, kecepatan fluida, setengah panjang chord dari dek jembatan dan Theodorsen circulatory function C(K) = F(K) + iG(K). Gaya-gaya aeredinamika tersebut dimodelkan sebagai berikut:

Formulasi pendekatan untuk bagian real dan imajiner dari Theodorsen circulatory function diberikan oleh Starossek[3] sebagai berikut:

{K=b.w/U} adalah reduced frequency, {b=B/2} adalah setengah panjang chord dari thin plate, {w} adalah natural circular frequency  dan U adalah kecepatan aliran fluida.

Fungsi Theodorsen hanya memberikan hasil yang akurat untuk thin plates atau streamlined section saja, fungsi ini tidak bisa diaplikasikan untuk bluff cross section. Scanlan dan Tomko [4] telah menunjukkan bahwa gaya-gaya aerodinamika self – excited yang bekerja pada bluff bodies dibawah pengaruh osilasi yang kecil, displacement dan velocity dari gerak sistem tersebut dapat dianggap linear. Model gaya-gaya aerodinamika self – excited tersebut dituliskan oleh Scanlan sebagai berikut:

 

H2(K), H3(K), A1(K), A2(K) disebut dengan cross-flutter derivatives. Cross-flutter derivatives ini akan digunakan untuk menghitung gaya aerodinamika yang berkorelasi dengan derajat kebebasan untuk gerak kopel (coupled motion). Sedangkan  H1(K), H4(K), A2(K), A3(K) disebut dengan direct-flutter derivatives. Direct-flutter derivatives ini dapat diperoleh dengan menggunakan analisis satu derajat kebebasan.

Seperti yang telah disebutkan di atas, flutter derivatives merupakan fungsi dari geometri dari dek jembatan dan non-dimensional reduced frequency K seperti yang terlihat pada persamaan 2.6 dan 2.7.

Theoritical values dari flutter derivatives pada thin plate section dikuantifikasi berdasarkan Theodorsen function dengan mengekivalenkan gaya aerodinamika pada persamaan 2.3 dan 2.4 dengan gaya aerodinamika yang dimodelkan oleh Scanlan pada persamaan 2.6 dan 2.7. Theoritical flutter derivatives dihitung berdasarkan formula sebagai:

Dimana F(K) dan G(K) adalah bagian real dan imajiner dari fungsi Theodorsen C(K) yang diberikan pendekatannya pada persamaan 2.5.

Scanlan[4] membuat perbandingan antara flutter derivatives dari airfoil dan beberapa streamlined cross section. Selanjutnya Sarkar[5] membandingkan flutter derivatives yang dihitung secara teoritik dari airfoil dengan yang dihitung secara eksperimental dengan menggunakan free vibration method. Baik untuk flutter derivatives yang dihitung secara teoritik maupun yang diperoleh secara eksperimental menunjukkan hasil yang berdekatan, sehingga membuktikan reliability dari penurunan flutter derivatives ini secara teoritik untuk airfoil dan thin plate section.

 

3.   Simulation Data for Calculation Unsteady Aerodynamic Forces in Terms of Flutter Derivatives

Untuk mengkuantifikasi gaya-gaya unsteady aerodynamic yang telah dimodelkan sebelumnya, maka dilakukan perhitungan terhadap flutter derivatives yang menjadi komponen dari gaya-gaya unsteady aerodynamic tersebut. Perhitungan dilakukan dengan mensimulasikan data sehingga bisa digunakan untuk mengidentifikasi flutter derivatives. Berikut data simulasi yang digunakan untuk mengidentifikasi flutter derivatives:

 

TABEL 3.1

DATA SIMULASI

B (m) : Chord Deck	0.3
Natural circular frequency pitching (rad/s)	28.9036
Natural frequency pitching (Hz)	4.602484
Natural circular frequency heaving (rad/s)	16.5995
Natural frequency heaving (Hz)	2.641892

 

Berdasarkan data di atas maka dapat dihitung reduced frequency dan reduced velocity dari sistem. Reduced frequency dan reduced velocity akan digunakan untuk menghitung harga bagian real dan imajiner dari fungsi Theodorsen. Hasil perhitungan bagian real dan imajiner dari fungsi Theodorsen akan ditampilkan pada tabel 3.2 berikut:

 

TABEL 3.2

PERHITUNGAN BAGIAN REAL DAN IMAJINER

DARI FUNGSI THEODORSEN

 

U (m/s)	Reduced Velocity Heaving	Reduced Velocity Pitching	Reduced Frequency Heaving	Reduced Frequency Pitching	F(K)	iG(K)
0	0	0	0	0	0	0
0.5	0.6308609	0.362123288	9.9597	17.34	0.500464788	0.007234378
1	1.2617218	0.724246576	4.97985	8.67	0.500944169	0.014334272
1.5	1.8925827	1.086369864	3.3199	5.78	0.501867257	0.02134982
2	2.523443601	1.448493152	2.489925	4.34	0.503172146	0.028222179
2.5	3.154304501	1.81061644	1.99194	3.47	0.504805983	0.034915312
3	3.785165401	2.172739728	1.65995	2.89	0.506723431	0.041407706
3.5	4.416026301	2.534863016	1.422814286	2.48	0.508885435	0.047687341
4	5.046887201	2.896986304	1.2449625	2.17	0.511258216	0.053748512
4.5	5.677748101	3.259109592	1.106633333	1.93	0.513812462	0.059589776
5	6.308609001	3.62123288	0.99597	1.73	0.516522644	0.065212577
5.5	6.939469902	3.983356168	0.905427273	1.58	0.519366474	0.07062032
6	7.570330802	4.345479456	0.829975	1.45	0.52232443	0.075817729
6.5	8.201191702	4.707602744	0.766130769	1.33	0.525379382	0.080810398
7	8.832052602	5.069726032	0.711407143	1.24	0.528516259	0.085604471
7.5	9.462913502	5.43184932	0.66398	1.16	0.531721776	0.090206418
8	10.0937744	5.793972608	0.62248125	1.08	0.534984207	0.094622871
8.5	10.7246353	6.156095896	0.585864706	1.02	0.538293182	0.098860508
9	11.3554962	6.518219184	0.553316667	0.96	0.541639517	0.102925967
9.5	11.9863571	6.880342472	0.524194737	0.91	0.545015075	0.106825791
10	12.617218	7.24246576	0.497985	0.87	0.548412633	0.110566382
10.5	13.2480789	7.604589048	0.474271429	0.83	0.551825779	0.114153975

                        

Untuk lebih jelasnya maka bagian real dan imajiner dari fungsi Theodorsen dapat dilihat pada gambar berikut:

 

Gambar 3.1: Bagian real dan imajiner dari fungsi Theodorsen.

 

Kemudian berdasarkan perhitungan bagian real dan imajiner dari fungsi Theodorsen, maka dilakukan identifikasi terhadap flutter derivatives. Flutter derivatives ini merupakan fungsi dari reduced frequency. Untuk H1(K), H2(K), A1(K), dan A4(K) reduced frequency yang digunakan adalah reduced frequency heaving. Sedangkan untuk H2(K), H3(K), A2(K), dan A3(K) reduced frequency yang digunakan adalah reduced frequency pitching[6]. Berikut hasil identifikasi dari flutter derivatives berdasarkan fungsi Theodorsen.

TABEL 3.3

FLUTTER DERIVATIVES

 

H1(K)	H2(K)	H3(K)	H4(K)	A1(K)	A2(K)	A3(K)	A4(K)
0	0	0	0	0	0	0	0
-0.31572	-0.13606	-0.00915	1.57536	0.078931	-0.01127	0.051537	-0.00114
-0.63205	-0.2731	-0.03667	1.588882	0.158013	-0.0223	0.058904	-0.00452
-0.94983	-0.41212	-0.08276	1.611203	0.237456	-0.03284	0.071228	-0.0101
-1.26973	-0.55404	-0.14774	1.642013	0.317432	-0.04264	0.08858	-0.0178
-1.59231	-0.69974	-0.23203	1.68093	0.398078	-0.05151	0.111048	-0.02753
-1.91803	-0.84999	-0.3361	1.727531	0.479508	-0.05923	0.138738	-0.03918
-2.24725	-1.00551	-0.46047	1.781385	0.561813	-0.06564	0.171764	-0.05265
-2.58026	-1.16694	-0.60569	1.842059	0.645066	-0.07057	0.210247	-0.06782
-2.9173	-1.33489	-0.77233	1.909132	0.729324	-0.07387	0.254315	-0.08458
-3.25854	-1.50986	-0.96097	1.982197	0.814635	-0.07542	0.304096	-0.10285
-3.60413	-1.69233	-1.17218	2.060864	0.901032	-0.07509	0.359723	-0.12252
-3.95417	-1.88274	-1.40655	2.144762	0.988542	-0.07278	0.421326	-0.14349
-4.30874	-2.08145	-1.66465	2.233538	1.077184	-0.06839	0.489037	-0.16569
-4.66788	-2.2888	-1.94705	2.32686	1.166971	-0.06184	0.562987	-0.18902
-5.03164	-2.5051	-2.25431	2.424412	1.257909	-0.05305	0.643304	-0.2134
-5.40001	-2.73061	-2.58698	2.525898	1.350002	-0.04196	0.730115	-0.23878
-5.773	-2.96556	-2.9456	2.631039	1.44325	-0.02851	0.823544	-0.26506
-6.15059	-3.21016	-3.33069	2.739572	1.537646	-0.01265	0.923712	-0.29219
-6.53275	-3.46458	-3.74276	2.851248	1.633186	0.005665	1.030739	-0.32011
-6.91944	-3.72897	-4.18232	2.965836	1.72986	0.026475	1.14474	-0.34876
-7.31063	-4.00347	-4.64983	3.083117	1.827658	0.049812	1.265829	-0.37808

 

Selanjutnya hasil perhitungan flutter derivatives tersebut diplot terhadap reduced velocity. Hasil dari plot flutter derivatives terhadap reduced velocity dapat dilihat pada gambar berikut:

 

 

 

Untuk lebih jelasnya berikut akan ditampilkan grafik flutter derivatives bersarkan reduced frequency yang digunakan:

 

Gambar 3.2: Flutter derivatives related to reduce frequency heaving.

 

Gambar 3.3: Flutter derivatives related to reduce frequency pitching.

 

4.   Unsteady Aerodynamic Coefficient

Berikut akan dibahas tiga pertama dari koefisien-koefisien aerodinamika unsteady yaitu H1(K),H2(K),H3(K), dan A1(K),A2(K),A3(K). Koefisien H1 merepresentasikan respon dari gerak vertikal, dengan gerak torsional awal sama dengan nol. Berdasarkan perhitungan koefisien aerodinamika unsteady, diperoleh harga H1 semakin negatif dengan naiknya kecepatan angin. Hal ini merepresentasikan gerak heaving semakin kecil dan gerak torsi semakin besar dengan naiknya kecepatan angin.

Koefisien H2 dan H3 merepresentasikan efek dari gerak osilasi torsi yang meluruh (decay) terhadap gerak vertikal. Berdasarkan perhitungan koefisien aerodinamika unsteady, diperoleh harga koefisen H2 dan H3 semakin negatif dengan naiknya kecepatan angin. Hal ini menunjukkan bahwa jika frekwensi torsi semakin besar maka pengaruh gerak torsi yang meluruh terhadap gerak heaving akan semakin kecil. Jika kedua koefisien aerodinamika unsteady ini mengurangi gaya aerodinamika vertikal pada kecepatan angin yang tinggi, maka kemungkinan besar terjadi kopling antara gerak heaving dan torsi.

Secara umum koefisien A1 memiliki kontribusi yang kecil terhadap kondisi flutter pada kebanyakan dek jembatan. Efek dari koefisien A1 terhadap stabilitas muncul pada airfoil dan plat tipis. Efek koefisien A1 ini pada airfoil dan plat tipis menginduce gerak torsi yang terkopel walaupun efek yang berlawanan dari koefisien A2 muncul pada gerak torsi tersebut.

Selanjutnya koefisien A2 mengindikasikan stabilitas dari gerak torsi, dengan gerak heaving sama dengan nol. Koefisien ini berhubungan dengan  redaman aerodinamika untuk gerak torsi dan kemungkinan akan mengarah ke torsional divergence. Kurva koefisien A2 sangat berguna untuk dapat melakukan justifikasi dan komparasi terhadap stabilitas aerodinamik. Starossek[7] melakukan simplifikasi didalam memprediksi flutter pada dek jembatan yang memiliki bentuk bluff body dengan hanya melihat efek dari koefisien A2. Pada studi tersebut diperoleh kesimpulan bahwa koefisien A2 dapat memberikan aproksimasi awal yang kasar untuk memprediksi kecepatan angin kritikal.

Koefisien A3 merefleksikan perbedaan antara flutter dengan natural frequency dari gerak torsi. Koefisien ini memberikan efek kekakuan aerodinamik terhadap  frekwensi torsi kritis. 

 

 

5.   Conclusion

Pemodelan gaya-gaya aerodinamika unsteady pada dek jembatan bisa dilakukan dengan pendekatan analitik dari fungsi Theodorsen. Pendekatan tersebut valid jika dek yang digunakan berbentuk streamlined. Hal ini disebabkan fungsi Theodorsen diturunkan berdasarkan teori potential flow yang mengasumsikan disturbance yang terjadi kecil (small disturbance theory). Oleh sebab itu jika dek jembatan berbentuk bluff body maka pendekatan analitik Theodorsen tidak reliable untuk digunakan. Untuk menganalisis gaya-gaya aerodinamika unsteady pada dek jembatan yang berbentuk bluff body maka pendekatan secara eksperimental dilakukan. Sampai saat ini metode eksperimental masih reliable untuk dilakukan dibandingkan dengan melakukan secara numerik melalui CFD (Computational Fluid Dynamics). Flutter derivatives diidentifikasi berdasarkan data eksperimental. Eksperimental yang dilakukan bisa dengan free vibration test ataupun forced vibration test. 

 

REFERENCES

 

[1]     Emil Simiu, R.H. Scanlan. Wind Effect on Structures: fundamentals and application to design. 3^rd Edition, JhonWiley & Sons, Inc. Canada, 1996.

[2]     Theodore Theodorsen. General Theory of Aerodynamic Instability and the Mechanism of Flutter. National Advisory Comittee for Aeronautics (NACA), Washington, D. C., 1934, Technical Report No. 496, pp. 413-433, 1935.

[3]     Uwe Starossek. Bruckendynamik – Winderregte Schwingungen von Seilbrucken. Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1992.

[4]     R. H. Scanlan, J. J. Tomko. Airfoil and Bridge Deck Flutter Derivatives. Journal of the Engineering  Mechanics  Division,  97  (EM 6), pp 1717-1737, 1971.

[5]     Sarkar, P.P. New Identification Methods Applied to the Response of Flexible Bridges to Wind. PhD thesis, The Jhon Hopkins University, Baltimore, Md, 1992.

[6]     Xinzhong Chen, Ahsan Kareem. Efficacy of the Implied Approximation in the Identification of Flutter Derivatives. Journal of Structural Engineering, 10.1061 / (ASCE) 0733 – 9445 (2004) 130:12 (2070).

[7]     Uwe Starossek. Simplified Flutter Prediction for Bridges with Bluff Cross Section. Journal of Structural Engineering, Vol. 6, No. 1, pp. 35-38, 1994.